5分で分かる!場合の数の解き方特集


桐蔭学園高等学校入試問題・場合の数の問題集

1辺の長さが3の立方体の6つの表面に図のように幅1で等間隔のマス目をつける.

 

点Aから点Bまでのマス目上を通る最短経路を考える.

 

次の各問いに答えよ.

 

(1) 点Aから点Cを通って点Bに達する最短経路は(           )通りである.

 

(2) 点Aから点Dを通って点Bに達する最短経路は(          ) 通りである.

 

(3) 点Aから点Bに達する最短経路は(             )通りである.

 

桐蔭学園高等学校入試問題・場合の数の問題集

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解けましたか?それでは解答です。

 

(1) まず,AからCへの行き方を考える。

 

水平方向に1マス動くことをa,上方向に1マス動くことをbとすると,AからCまでは,a,a,a,b,b,bを並べることで行き方を表すことができる。

 

3つのaと3つのbの並べ方は,(6×5×4×3×2)÷(3×2×3×2)=20(通り)

 

CからBへは1通りの行き方しかないので,20×1=20(通り)

 

(2) AからDへは,(4×3×2)÷(3×2)=4(通り) DからBへは,(5×4×3×2)÷(2×1×3×2)=10(通り)

 

よって,4×10=40(通り)

 

(3) AからBへ最短経路で行くには,立方体の2つの面を通過することになる。

 

AからBへ行くための2面の選び方は6通りある。

 

2つの面を通ってBに達するには,6つのaと3つのbを並べることだから,その行き方は,

 

(9×8×7×6×5×4×3×2)÷(6×5×4×3×2×3×2)=84(通り)

 

このうち,立方体の辺上のみを通る3通りは,違う2面を通る場合にも重複するので,

 

(84−3)×6=486(通り)が面の内部を通ってBへ達する行き方である。

 

立方体の辺上のみを通って,AからBに達する行き方は6通りある。

 

よって,486+6=492(通り)



このエントリーをはてなブックマークに追加