桐蔭学園高等学校入試問題・場合の数の問題集
1辺の長さが3の立方体の6つの表面に図のように幅1で等間隔のマス目をつける.
点Aから点Bまでのマス目上を通る最短経路を考える.
次の各問いに答えよ.
(1) 点Aから点Cを通って点Bに達する最短経路は( )通りである.
(2) 点Aから点Dを通って点Bに達する最短経路は( ) 通りである.
(3) 点Aから点Bに達する最短経路は( )通りである.
解けましたか?それでは解答です。
(1) まず,AからCへの行き方を考える。
水平方向に1マス動くことをa,上方向に1マス動くことをbとすると,AからCまでは,a,a,a,b,b,bを並べることで行き方を表すことができる。
3つのaと3つのbの並べ方は,(6×5×4×3×2)÷(3×2×3×2)=20(通り)
CからBへは1通りの行き方しかないので,20×1=20(通り)
(2) AからDへは,(4×3×2)÷(3×2)=4(通り) DからBへは,(5×4×3×2)÷(2×1×3×2)=10(通り)
よって,4×10=40(通り)
(3) AからBへ最短経路で行くには,立方体の2つの面を通過することになる。
AからBへ行くための2面の選び方は6通りある。
2つの面を通ってBに達するには,6つのaと3つのbを並べることだから,その行き方は,
(9×8×7×6×5×4×3×2)÷(6×5×4×3×2×3×2)=84(通り)
このうち,立方体の辺上のみを通る3通りは,違う2面を通る場合にも重複するので,
(84−3)×6=486(通り)が面の内部を通ってBへ達する行き方である。
立方体の辺上のみを通って,AからBに達する行き方は6通りある。
よって,486+6=492(通り)