5分で分かる!中2数学の解き方特集


埼玉県公立高校入試問題・中2数学問題集

右の図のように,正三角形ABCの辺を除く内部に点Pをとって△PBCをつくり,△PBCの辺PB,PCをそれぞれ1辺とする正三角形QBP,正三角形RPCを,△PBCの外部につくります。

 

埼玉県公立高校入試問題・中2数学問題集

 

このとき,△PBCと△QBAが合同であることが証明されれば,四角形AQPRが平行四辺形であることは,次のように証明できます。

 

 

△PBC≡△QBA         ………(※)

 

よって,PC=QA

 

△RPCは正三角形だから,PC=PR

 

したがって,QA=PR     ……(ア)

 

また,(※)を証明するのと同じようにして△PBC≡△RAC

 

よって,PB=RA

 

△QBPは正三角形だから,PB=PQ

 

したがって,RA=PQ     ……(イ)

 

(ア)と(イ)から,2組の向かいあう辺がそれぞれ等しいので,四角形AQPRは平行四辺形である。

 

 

 

このとき,次の各問に答えなさい。

 

(1) △PBCと△QBAが合同であることを証明しなさい。

 

(2) △PBCに条件をつけ加えると,四角形AQPRは平行四辺形の特別な形になるときがあります。そのときの四角形の名称を一つ答え,その四角形となるために,△PBCにつけ加える条件を答えなさい。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解けましたか?それでは解答です。

 

(1) (証明)(例)

 

△PBCと△QBAにおいて,

 

△ABCが正三角形だから,BC=BA   @

 

∠ABC=60°   A

 

△QBPが正三角形だから,BP=BQ   B

 

∠QBP=60°   C

 

Aより,∠PBC=∠ABC−∠ABP=60°−∠ABP

 

Cより,∠QBA=∠QBP−∠ABP=60°−∠ABP

 

∠ABPは共通だから,∠PBC=∠QBA   D

 

@,B,Dから,2辺とその間の角がそれぞれ等しいので,△PBC≡△QBA

 

(2) (四角形の名称)(例)ひし形  (つけ加える条件)PB=PC



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