埼玉県公立高校入試問題・中2数学問題集
右の図のように,正三角形ABCの辺を除く内部に点Pをとって△PBCをつくり,△PBCの辺PB,PCをそれぞれ1辺とする正三角形QBP,正三角形RPCを,△PBCの外部につくります。
このとき,△PBCと△QBAが合同であることが証明されれば,四角形AQPRが平行四辺形であることは,次のように証明できます。
△PBC≡△QBA ………(※)
よって,PC=QA
△RPCは正三角形だから,PC=PR
したがって,QA=PR ……(ア)
また,(※)を証明するのと同じようにして△PBC≡△RAC
よって,PB=RA
△QBPは正三角形だから,PB=PQ
したがって,RA=PQ ……(イ)
(ア)と(イ)から,2組の向かいあう辺がそれぞれ等しいので,四角形AQPRは平行四辺形である。
このとき,次の各問に答えなさい。
(1) △PBCと△QBAが合同であることを証明しなさい。
(2) △PBCに条件をつけ加えると,四角形AQPRは平行四辺形の特別な形になるときがあります。そのときの四角形の名称を一つ答え,その四角形となるために,△PBCにつけ加える条件を答えなさい。
解けましたか?それでは解答です。
(1) (証明)(例)
△PBCと△QBAにおいて,
△ABCが正三角形だから,BC=BA @
∠ABC=60° A
△QBPが正三角形だから,BP=BQ B
∠QBP=60° C
Aより,∠PBC=∠ABC−∠ABP=60°−∠ABP
Cより,∠QBA=∠QBP−∠ABP=60°−∠ABP
∠ABPは共通だから,∠PBC=∠QBA D
@,B,Dから,2辺とその間の角がそれぞれ等しいので,△PBC≡△QBA
(2) (四角形の名称)(例)ひし形 (つけ加える条件)PB=PC