数学・図形（茨城県高校入試）
下の図のように，∠BAC＝45°の△ABCがある。頂点Aから辺BCに垂線をひき，辺BCとの交点をPとする。また，頂点Bから辺ACに垂線をひき，辺ACとの交点をQとし，線分APと線分BQの交点をRとする。
このとき，△ARQ≡△BCQであることを証明しなさい。
解けましたか？それでは解答です。
△ARQと△BCQについて ∠AQR＝∠BQC＝90°…①
また，△ABQにおいて
∠AQB＝90°，∠QAB＝45°より ∠ABQ＝180°－（90°＋45°）＝45°
∠QAB＝∠ABQ＝45°となり，△ABQは直角二等辺三角形となる。
したがって，AQ＝BQ …②
△ACPにおいて，∠CAP＝180°－（90°＋∠ACP）
△BCQにおいて，∠QBC＝180°－（90°＋∠BCQ）
∠ACPと∠BCQは共通な角だから ∠QAR＝∠CAP＝∠QBC …③
①，②，③より，1組とその両端の角がそれぞれ等しいので，△ARQ≡△BCQ
