2007 京都大学数学 文系・京大過去問データベース
１．四角形ABCD を底面とする四角錐OABCD を考える。点P は時刻0 では頂点Oにあり, 1 秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5 つの頂点のいずれかに移動する。
規則：点P のあった頂点と1 つの辺によって結ばれる頂点の1 つに, 等しい確率で移動する。
このとき, n 秒後に点P が頂点O にある確率を求めよ。
２．3 次関数y = x 3 - 2x 2 - x + 2のグラフ上の点(1, 0 )における接線をl とする。この3 次関数のグラフと接線l で囲まれた部分をx 軸のまわりに回転して立体を作る。その立体の体積を求めよ。
３．p を3 以上の素数とする。4 個の整数a, b, c, d が次の3 条件
a + b + c + d = 0 , ad - bc + p = 0 , a≧b≧c≧d
を満たすとき, a, b, c, d をp を用いて表せ。
４．座標空間で点( 3, 4, 0 ) を通りベクトルa→ = (1, 1, 1) に平行な直線をl, 点( 2, -1, 0 )を通りベクトルb→ = (1, - 2, 0 )に平行な直線をm とする。点P は直線l上を, 点Q は直線m 上をそれぞれ勝手に動くとき, 線分PQ の長さの最小値を求めよ。
５．n を1 以上の整数とするとき, 次の2 つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し, 正しくないときはその理由を述べよ。
命題p：あるn に対して, √n と√n +1はともに有理数である。
命題q：すべてのn に対して, √n +1 - √n は無理数である。
