2006 京都大学数学 文系・京大過去問データベース
1.放物線C : y = x 2と2 直線l1 : y = px -1 , l2 : y = - x - p + 4は1 点で交わるという。このとき, 実数p の値を求めよ。
2.座標空間上に4 点A( 2, 1, 0 ) , B(1, 0, 1) , C( 0, 1, 2 ) , D(1, 3, 7 )がある。3 点A, B, C を通る平面に関して点D と対称な点をE とするとき, 点E の座標を求めよ。
3.Q( x ) を2 次式とする。整式P ( x ) はQ( x ) では割り切れないが, {P ( x ) }2 はQ( x )で割り切れるという。このとき2 次方程式Q( x ) = 0は重解をもつことを示せ。
4.関数y = f ( x )のグラフは, 座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのx≦0 の部分は, 軸がy 軸に平行で, 点( ー0.5, 0.25 )を頂点とし, 原点を通る放物線と一致している。このときx = -1におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
5.n, k は自然数で, k≦n とする。穴のあいた2k 個の白玉と2n - 2k個の黒玉にひもを通して輪を作る。このとき適当な2 箇所でひもを切ってn 個ずつの2 組に分け, どちらの組も白玉k 個, 黒玉n - k 個からなるようにできることを示せ。