数学・証明(大阪府高校入試)
図Iにおいて,円Oの半径は6 cmである。A,B,Cは円Oの周上の点であり,ACは円Oの直径である。AとB,OとBとをそれぞれ結ぶ。△OABの内角∠AOBの大きさは120゜である。MはOから弦ABにひいた垂線と弦ABとの交点である。
円周率をπとして,次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ数になるときは,根号の中の数をできるだけ小さい自然数で表すこと。
(1) 図Iにおいて,
@ 半周より短い弧⌒ABの長さを求めなさい。
A 線分AMの長さを求めなさい。
B BとCとを結んで△ABCをつくる。△ABC∽△BMO
であることを証明しなさい。
解けましたか?それでは解答です。
(1) @ 4π(cm)
A (cm)
B (証明)
△ABCと△BMOにおいてACは円Oの直径だから ∠ABC=90°…ア
AB⊥OMだから ∠BMO=90°…イ
ア,イより ∠ABC=∠BMO……ウ
OA,OBは円Oの半径だから OA=OB
したがって,△OABは二等辺三角形となり,二等辺三角形の二つの底角は等しいから
∠BAC=∠MBO…エ
ウ,エより,2組の角がそれぞれ等しいから △ABC∽△BMO