高知県公立高校入試問題・三平方の定理問題集
下の図のように,円Oに内接する△ABCがある。点Cにおける円Oの接線とABの延長との交点をPとする。また,点Pを通りBCに平行な直線とACの延長との交点をQとする。このとき,次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし,AC>BCとする。
(1) △ABC ∽ △PCQであることを証明せよ。
(2) CQ=4cm,PQ=7cmのとき,BCの長さを求めよ。
解けましたか?それでは解答です。
(1) (証明)△ABCと△PCQにおいて
BC‖PQ より,同位角は等しいから ∠ACB=∠PQC……@
BC‖PQ より,錯角は等しいから ∠BCP=∠CPQ……A
接線と弦のつくる角の定理より ∠BCP=∠BAC……B
A,Bより ∠BAC=∠CPQ……C
@,Cより,2組の角がそれぞれ等しいので △ABC∽△PCQ
(2) BC‖PQ より △ABC∽△APQ,(1)より △ABC∽△PCQ,
よって △APQ∽△PCQ,である。
AQ:PQ=PQ:CQ,より AQ:7=7:4,4AQ=49,AQ=49/4
よって AC=AQ−CQ=49/4−4=33/4
一方 △ABC∽△PCQ,だから
BC:CQ=AC:PQ,BC:4=33/4:7,7BC=33,より BC=33/7