愛媛県公立高校入試問題・三平方の定理問題集
∠Ａ＝90°，∠Ｂ＝60°，ＡＢ＝6 cmの直角三角形ＡＢＣがあり，辺ＡＢ，ＢＣの中点をそれぞれ点Ｍ，Ｎとする。右の図１のように，線分ＭＡ上に点Ｐをとり，辺ＡＣ上に点Ｑを∠ＰＮＱ＝90°となるようにとる。
このとき，次の問いに答えなさい。（円周率はπを用いること。）
１ 点Ｐが点Ｍの位置にあるとき，線分ＡＱの長さを求めよ。
２ 右の図２のように，直線PNについて点Ｂと反対側に，∠PNB＝∠PND，NB＝NC＝NDとなる点Dをとる。
(1) △ＣＮＱ≡△ＤＮＱであることを証明せよ。
(2) ∠ＢＮＰ＝43°のとき，△ＤＰＱにおける∠ＤＰＱの大きさは何度か。
(3) 点Pが線分MA上を点Mから点Aまで動くとき，点Dが動いてできる線を解答用紙の図にかき入れよ。また，その線の長さを求めよ。
図１
図２
解けましたか？それでは解答です。
１ □AMNQは長方形となる。中点直結定理より3√3（cm）
２ (1) （証明）△CNQと△DNQにおいて
共通な辺だから NQ＝NQ……①
仮定より NC＝ND……②
また，∠CNQ＝90°－∠PNB，∠DNQ＝90°－∠PND，で
∠PNB＝∠PND，だから ∠CNQ＝∠DNQ……③
①，②，③より，２辺とその間の角がそれぞれ等しいので △CNQ≡△DNQ
(2) △CNQ≡△DNQにより ∠NCQ＝∠NDQ……①
△BNP≡△DNPにより ∠PBN＝∠PDN……②
一方，△ABCにおいて ∠PBN＋∠NCQ＝90°，だから
①，②より ∠PDN＋∠NDQ＝90°，つまり ∠PDQ＝90°
よって，□PDQNにおいて ∠PDQ＋∠PNQ＝180°
したがって４点P，D，Q，Nは同一円周上にある。
ゆえに⌒DQの円周角より ∠DPQ＝∠DNQ＝(180°－2∠BNP)＝90°－∠BNP＝47（度）
(3) 点Dは，点Nを中心に，半径NAの円周上を点Aから，中心角60°の扇形をえがく。
よって 60÷360×(2×6×π)＝2π (cm)
下の図 
