宮城県公立高校入試問題・三平方の定理問題集
１辺の長さが2cmの正方形ABCDがあります。図Ⅰのように，辺BCの中点をMとし，点Aを中心とする半径2cm，中心角90°のおうぎ形ABDの弧 ⌒BDと線分DMとの交点をPとします。そして，点Bと点D，点Bと点Pを結びます。
あとの１～４の問いに答えなさい。
１ △DBMの面積を求めなさい。
２ 線分DMの長さを求めなさい。
３ △DBMと相似な三角形を答えなさい。また，△DBMとその三角形が相似であることを証明しなさい。
４ 線分PMの長さを求めなさい。
解けましたか？それでは解答です。
1. △DBM＝0.5×BM×DC÷2＝1（cm2）
2. DM2＝MC2＋CD2＝12＋22，より DM＝√5（cm）
3. △DBM∽△BPM
（証明）△DBMと△BPMにおいて
共通な角だから ∠BMD＝∠PMB……①
辺BCは，点Aを中心，ABを半径とする円の接線である。
接線と弦のつくる角の定理より ∠BDM＝∠PBM……②
①，②より ２組の角がそれぞれ等しいから △DBM∽△BPM
4. 3.より，△DBM∽△BPM だから，BM：PM＝DM：BM，1：PM＝√5：1，
√5PM＝1，
PM＝√5/5（cm）
