2007 東京大学文系・東大過去問データベース
１．連立不等式
y( y -| x2 - 5 | + 4 ) ≦0 , y + x2 - 2x - 3 ≦ 0
の表す領域をD とする。
(1) D を図示せよ。
(2) D の面積を求めよ。
２．r は0＜r＜1 を満たす実数, n は2 以上の整数とする。平面上に与えられた1 つの円を, 次の条件①, ②を満たす2 つの円で置き換える操作(P)を考える。
① 新しい2 つの円の半径の比はr : 1 - rで, 半径の和はもとの円の半径に等しい。
② 新しい2 つの円は互いに外接し, もとの円に内接する。
以下のようにして, 平面上に2n個の円を作る。
・最初に, 平面上に半径1 の円を描く。
・次に, この円に対して操作(P)を行い, 2 つの円を得る(これを1 回目の操作という)。
・k 回目の操作で得られた2k個の円のそれぞれについて, 操作(P)を行い,2k+1 個の円を得る(1≦k≦n -1)。
(1) n 回目の操作で得られる2n個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2 回目の操作で得られる4 つの円の面積の和を求めよ。
(3) n 回目の操作で得られる2n個の円の面積の和を求めよ。
３．正の整数の下2 桁とは, 100 の位以上を無視した数をいう。たとえば, 2000, 12345の下2 桁はそれぞれ0, 45 である。mが正の整数全体を動くとき, 5m4の下2 桁として現れる数をすべて求めよ。
４．表が出る確率がp, 裏が出る確率が1 - p であるような硬貨がある。ただし,0＜p＜1とする。この硬貨を投げて, 次のルール(R)の下で, ブロック積みゲームを行う。
(R)① ブロックの高さは, 最初は0 とする。
② 硬貨を投げて表が出れば高さ1 のブロックを1 つ積み上げ, 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ0 に戻す。
n を正の整数, m を0≦m≦n を満たす整数とする。
(1) n 回硬貨を投げたとき, 最後にブロックの高さがm となる確率を求めよ。
(2) (1)で, 最後にブロックの高さがm以下となる確率qmを求めよ。
(3) ルール(R)の下で, n 回硬貨投げを独立に2 度行い, それぞれ最後のブロックの高さを考える。2 度のうち, 高い方のブロックの高さがm である確率rmを求めよ。
ただし, 最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。
