数学的帰納法を使った問題の解き方はこれで完璧！

ｎを自然数とするとき、２のｎ乗を10で割った余りは
どのように変化するか予想し、それを証明せよ。

・解説
２のｎ乗を10で割った余りは２、４、６、８、２、４、６、８と
循環されるので、次のように予想される。
ｍを自然数として
ｎ＝４ｍ−３のとき、余りは２…�@
ｎ＝４ｍ−２のとき、余りは４…�A
ｎ＝４ｍ−１のとき、余りは６…�B
ｎ＝４ｍ　　のとき、余りは８…�C

�@を証明する。
（�T）ｍ＝１のとき、ｎ＝１で、２÷10の余りは
２であるから成立する。
（�U）ｍ＝ｋのとき、�@が成り立つと仮定すれば、

したがって、ｍ＝ｋ＋１のとき、

よって10で割った余りも２であり、ｍ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
（�T）（�U）より、すべての自然数ｍについて、�@は成り立ち、
以下、�A、�B、�Cについても同様にして数学的帰納法により証明される。