東大数学の過去問〜データベース集〜

２．白黒2 種類のカードがたくさんある。そのうち4 枚を手もとにもっているとき,  次の操作(A)を考える。

(A) 手もちの4 枚の中から1 枚を,  等確率で選び出し,  それを違う色のカードにとりかえる。

最初にもっている4 枚のカードは,  白黒それぞれ2 枚であったとする。以下の(1), (2)に答えよ。

(1)  操作(A)を4 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

(2)  操作(A)をn 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

３．座標平面上の3 点A(1, 0 ) ,  B( -1, 0 ) ,  C( 0, -1)に対し,  ∠APC = ∠BPCを満たす点P の軌跡を求めよ。ただし,  P ≠ A, B, Cとする。

４．p を自然数とする。次の関係式で定められる数列{an} ,  {bn}を考える。

a₁ = p ,  b₁ = p +1

a_n+1 = a_n + pb_n ,  b_n+1 = pa_n + ( p + 1)b_n   ( n = 1, 2, 3, …)

(1)  n = 1, 2, 3, …に対し, 次の2 つの数がともにp³で割り切れることを示せ。

a_n-n( n - 1 )p² /2 -np  ,  bn - n( n - 1 )p² - np - 1

(2)  p を3 以上の奇数とする。このとき,  a_pはp²で割り切れるが,  p³では割り切れないことを示せ。