2010 京都大学数学 文系・京大過去問データベース
１．[1] 座標平面上で, 点(1, 2 )を通り傾きa の直線と放物線y = x2によって囲まれる部分の面積をS( a )とする。a が0≦a≦6 の範囲を変化するとき, S( a )を最小にするようなa の値を求めよ。
１．[2] △ABC においてAB = 2 , AC = 1とする。∠BACの二等分線と辺BC の交点を
Dとする。AD = BDとなるとき, △ABC の面積を求めよ。
２．座標平面上の点P( x, y )が4x + y≦9 , x + 2y≧4 , 2x - 3y≧-6 の範囲を動くとき, 2x + y , x2 + y2のそれぞれの最大値と最小値を求めよ。
３．1 から5 までの自然数を1 列に並べる。どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする。このとき1 番目と2 番目と3 番目の数の和と, 3 番目と4 番目と5 番目の数の和が等しくなる確率を求めよ。ただし, 各並べかたにおいて, それぞれの数字は重複なく一度ずつ用いるものとする。
４．点O を中心とする正十角形において, A, B を隣接する2 つの頂点とする。線分OB上にOP2 = OB×PBを満たす点P をとるとき, OP = ABが成立することを示せ。
５．座標空間内で, O( 0, 0, 0 ) , A(1, 0, 0 ) , B(1, 1, 0 ) , C( 0, 1, 0 ) ,D( 0, 0, 1) , E(1, 0, 1) , F(1, 1, 1) , G( 0, 1, 1)を頂点にもつ立方体を考える。
(1) 頂点A から対角線OF に下ろした垂線の長さを求めよ。
(2) この立方体を対角線OF を軸にして回転して得られる回転体の体積を求めよ。
