５分で分かる！三平方の定理の解き方特集

下の図のように，△ABCが円Oに内接している。∠BACの二等分線と辺BC，円Oとの交点をそれぞれD，Mとし，辺ACの延長と点Mにおける円の接線との交点をEとしたものである。また，BとM，CとMをそれぞれ結んだものである。このとき，次の１〜３の問いに答えなさい。

１　∠BAC＝50°のとき，∠BMCの大きさは何度か。
２　「∠CME＝∠CAM」が成り立つことを次のように証明した。 ア  ， イ  ， エ  にはそれぞれあてはまる角を文字を用いて表せ。また， ウ  にはあてはまる式を書け。

３　ACが円Oの直径で，AC＝６cm，BM＝２cmとするとき，次の(1)，(2)の問いに答えよ。
(1)　弦CM，弦AMの長さはそれぞれ何cmか。
(2)　△CMEの面積は，△CDMの面積の何倍か。

解けましたか？それでは解答です。
１　四角形ABMCは円Oに内接しているから　∠BMC＝180°−∠BAC＝130（度）
２　ア　∠CPM　　イ　∠CME　　ウ　∠CPM＝∠CME　　エ　∠CAM
３　(1)　⌒BMの円周角より　∠MCB＝∠MAB，⌒CMの円周角より　∠CBM＝∠CAM
またAMは∠Aの二等分線だから　∠MAB＝∠CAM，よって　∠MCB＝∠CBM，となるから
△CMBは二等辺三角形である。CM＝BM＝2（cm），AM＝4√2（cm）
(2)　△CME∽△MAE で，相似比は　CM：MA＝2：4√2＝1：2√2，面積比は　1²：（2√2）²＝1：8
よって　△CME＝1/7×△ACM……�@
一方，△CDMは直角三角形で　CD：DM＝3：1，より　CD：DM：CM＝3：1：2√2
DM＝√2/2となる。
また，△ACM∽△CDM で，相似比は　CM：DM＝4：√2
面積比は　4²：(√2)²＝8：1，だから  △CDM＝1/8×△ACM……�A
�@，�Aより　△CME＝8/7×△CDM